Not a Note Catatan Pribadi

OSN 2019 Problem 6

Soal

Diketahui lingkaran yang berpusat di $O$. Diketahui pula dua titik tetap $A$ dan $B$ keduanya tidak berada pada keliling lingkaran sedemikian sehingga $A$ dan $B$ simetris terhadap $O$. Misalkan titik $P$ terletak pada keliling lingkaran. Garis melalui $P$ tegak lurus $AP$ memotong lingkaran di $P$ dan $Q$. Buktikan bahwa nilai $AP\times BQ$ tidak tergantung pada pemilihan titik $P$.

Solusi

Misalkan $R$ adalah titik pada lingkaran sehingga $QR$ diameter lingkaran. Misalkan $r$ adalah panjang jari-jari lingkaran. Sebelum meninjau kasus umum, kita akan melihat kasus khusus terlebih dahulu. Apabila $A$ di dalam lingkaran dan $A=O=B$ maka untuk sebarang $P$ dan sebarang $Q$, $AP\times BQ$ akan sama dengan $r^2$.

Berikutnya kita akan tinjau kasus umum. Karena $AP\perp PQ$ dan $QR$ diameter, maka $R,A,$ dan $P$ kolinear. Perhatikan bahwa $Q,O,$ dan $R$ kolinear (karena $QR$ diameter) dan $QO=OR$. Perhatikan pula bahwa $A,O,$ dan $B$ kolinear (berdasarkan soal) dan $AO=OB$.

Karena $Q,O,R$ kolinear dan $A,O,B$ kolinear maka $\angle AOR=\angle BOQ$.

Karena $\angle AOR=\angle BOQ$, $QO=OR,$ $AO=OB$, maka $\Delta AOR\cong \Delta BOQ$. Ini berakibat $AR=BQ$.

Selanjutnya kita tinjau dua kemungkinan kasus berikut.

  1. Kasus I: Jika $A$ dan $B$ keduanya berada di dalam lingkaran.

    Berdasarkan teorema titik kuasa pada titik $A$, kita punya

A dan B di dalam lingkaran

  1. Kasus II: Jika $A$ dan $B$ keduanya berada di luar lingkaran.

    Berdasarkan teorema titik kuasa pada titik $A$, kita punya

A dan B di luar lingkaran

Dari kedua kasus tersebut, karena $r$ bernilai tetap dan $A$ juga merupakan titik tetap, maka nilai $\left( AO^{2}-r^{2}\right)$ dan $\left(r^{2}-AO^{2}\right)$ keduanya tidak tergantung kepada pemilihan titik $P$.

Komentar

Pada sesi tanya jawab, banyak sekali pertanyaan mengenai simetris.

Apa artinya $A$ dan $B$ simetris terhadap $O$?

Saya kurang tau apakah istilah ini digunakan di sekolah atau tidak. Istilah simetris terhadap suatu titik (resp. garis) artinya dari dua objek jika salah satu dilakukan refleksi terhadap titik (resp. garis) acuan, maka akan menjadi objek yang lain. Dalam hal ini, $A$ dan $B$ simetris terhadap $O$ artinya jika $A$ kita refleksikan terhadap $O$ akan menghasilkan $B$, begitu pula sebaliknya, jika $B$ kita refleksikan terhadap $O$ akan menghasilkan $A$.

Menariknya lagi, ketika saya memberikan penilaian, banyak siswa yang tidak mendapatkan poin penuh hanya karena lupa bahwa $A$ dan $B$ keduanya bisa jadi di luar lingkaran dan bisa juga di dalam lingkaran. Sedikit bocoran, nilai OSN tahun ini sangat dekat satu dan lainnya. Bisa jadi hanya karena lupa kasus ini, nilainya terpotong dan mendapat medali di bawah yang seharusnya.

Ngomong-ngomong hasil OSN, penentuan peringkatnya cukup mudah karena cutoff emas ke perak dan cutoff perak ke perunggu keduanya cantik~ pas di antara posisi 5 dan 6, serta di antara posisi 15 dan 16. Yang cukup memusingkan adalah cutoff perunggu yang berada di antara peringkat 31 dan 32. Jadi, antara ada 14 medali perunggu, atau nego biar bisa 16 medali perunggu (which is sangat susaaaaah). Jadi untuk Anda yang berada di peringkat 30 dan 31, berterima kasihlah pada pembina-pembina senior yang nego cukup keras agar Anda-Anda bisa dapat medali.

Gambar Geogebra

Untuk yang ingin main-main dengan versi interaktif gambar, bisa diklik di link berikut: Gambar

comments powered by Disqus